理工学部/数学科科目 Pick Up

代数学系(2、3年次開講科目)

「代数学I、II」では数の体系の中で最も基礎的な整数や多項式について学び、基本的な代数系である群、環、体の理論を学ぶための準備とします。「代数学III」では代数系の考え方の基礎ともいえる群論を学びます。「代数学IV」では具体的な環を通じて環論の導入を図ります。群、環は様々な演算を抽象化して扱うための概念で、特に現代の数学ではどの分野でも重要なものです。「代数学V、VI」では、さらに進んで体論や、より抽象的な環論を学びます。

代数学系(4年次開講科目)

「代数学VII、VIII」では3年次までの代数学の講義で学んだことを土台として線形代数を高い立場から見直し、群論や環論の応用として数論や代数幾何学等で現れる発展的な話題を扱います。具体的な話題としては、幾何学的な非ユークリツド空間の構成、代数的数と超越数、代数曲線、代数的グラフ理論等が例として挙げられます。さらに、暗号理論や符号理論といった情報科学への応用も視野に入れています。

解析学系(2、3年次開講科目)

「微分積分III、IV」では1年次に学んだ微分積分を数学的に厳密な手法で再び学びます。特に「微分積分IV」は位相空間論の入門も含みます。「解析学I」では微分方程式論の入門として基本的な常微分方程式の解法を身に付け、 「解析学II」では複素解析学の入門的内容(複素数、複素数平面、正則関数、コーシーの積分定理、コーシーの積分公式)を学びます。「解析学III」では「解析学II」の続論として複素解析学の発展的内容(べき級数展開、ローラン展開、留数)を学び、「解析学IV」では現代解析学の土台となるルベーグ積分論と測度論について基礎的事項を学びます。「解析学V」では「解析学IV」の続論としてルベーグ積分についての発展的内容を学びます。特にフビニの定理、ルベーグ空間の学習を通じて、ルベーグ積分の有用性を実感します。 さらに「解析学VI」において「解析学I」の続論として常微分方程式の基礎理論(解の存在・一意性)を学び、これらの学習を通じて解析学の基本的概念を身に付けます。

解析学系(4年次開講科目)

「解析学VII、VIII」では、 現代解析学の一端に触れます。「解析学VII」ではフーリエ解析学の幾つかの話題(フーリエ級数、調和関数、ディリクレ問題など)を学び、 「解析学VIII」では関数解析学の基礎と応用について学びます。この2つの科目の学習を通すことにより、それまで別々の科目として学んできた解析学の基礎的内容に有機的な繋がりがあることを実感し、解析学さらには数学の全体的な学習が重要であることを認識します。

幾何学系(2、3年次開講科目)

2年次に開講する「幾何学I、II」では複素数を使った平面幾何、2次曲線の分類、および微分形式を学び、3年次前期に開講する「幾何学III、IV」では楕円、アストロイド、力一ジオイド、サイクロイド等の古典的によく研究された曲線を紹介し、伸開線、縮閉線、垂足曲線、および平面曲線の曲率について解説します。また、3次元ユークリッド空間内の曲線・曲面の動標構について解説し、ガウス曲率・平均曲率等の幾何学的不変量について解説します。3年次後期に開講する「幾何学V」では、多様体の基礎理論として、3次元ユークリッド空間内のコンパクトな曲面に対し「ガウス曲率の積分がオイラー標数である」ことを示すガウスーボンネの定理について解説します。3年次後期開講の「幾何学VI」では、位相幾何学の基礎理論として、同相という同値関係を導入した多様体において、形の違いを見分けるオイラー標数と種数の関係等を、ホモロジ一群の視点から解説します。

幾何学系(4年次開講科目)

4年次に開講する「幾何学VII、VIII」においては、座標平面の開集合に定義されたリーマン構造を中心に、リーマン構造が距離関数を導くこと、その距離関数に対する測地線の方程式が変分法を用いて導かれることを述べます。また、リーマン構造の曲率について解説し、その計算方法を述べます。これらの準備をもとに、上半平面の双曲計量に対応する測地線の方程式を厳密に解き、すべての測地線を求めます。また、双曲計量が導く上半平面の距離関数が複比を使って表されることを示し、曲率を計算します。さらに、実2次特殊線形群が等長変換群として作用していることを確かめます。最後に上半平面の双曲計量を非ユークリッド幾何学の関係について述べます。リ一群の基礎理論、ファイバー束の例についても解説します。

数理情報系(2、3年次開講科目)

2年次の「数理情報I」「数理情報II」では確率論と統計論の初歩を学びます。様々な確率分布を扱い、多くの例を通して分布の特性量や推定・検定についての理解を深めます。3年次の「数理情報III」「数理情報V」では確率空間、確率変数や中心極限定理等、公理的確率論の基本的事項について学びます。「数理情報IV」ではゲーム理論、符号理論等の基礎理論を、「数理情報VI」で、は分散分析や回帰分析等のさらに進んだ統計手法を学ぶことができます。

数理情報系(4年次開講科目)

「数理情報VII」ではマルコフ過程、マルチンゲール等、確率過程論の入門的内容を学びます。「数理情報VIII」ではブラウン運動や確率微分方程式を含む確率解析学の基礎、力学系理論、数理ファイナンス等、他分野への広がりを意識しながら、大学院への準備にも繋がる内容を選んで講義します。

計算機科学系(2、3年次開講科目)

「計算機科学I」では、C言語の基礎的な内容として関数やポインタを中心に学習します。特に、数学の諸問題を計算機を用いて考察するために、アルゴリズムの基礎について学びます。「計算機科学II」では、数学の簡単な問題を計算機を使って解くために、C言語のポインタから構造体までを学び、その応用として、MFCなどを使ったグラフィックス、マルチメディアなどについて講義と実習を行います。「計算機科学III、IV」 では、計算機科学およびC言語の基礎学力の定着をはかります。特に、C言語の2重ポインタまでを学び、リスト構造などの講義と実習を行います。「計算機科学V・VI」では、マルチメディアおよび情報通信の基礎を学び、JAVAなどを使って講義と実習を行います。

計算機科学系(4年次開講科目)

「計算機科学VII・VIII」では、符号理論や暗号理論といった情報社会でつかわれている数学について学び、簡単な実習を行います。また計算機科学系の「数学講究」では、ゼミ単位で、計算機に関係する数学の本を選び、全員で輪読をします。あるゼミでは、コンピュータによる数学へのアプローチとして、微分方程式に対する数値解法を目的とした数値計算について取り扱います。また、計算の高速化に必要となる MPI、OpenMPなどの並列化手法についても取り扱います。また、別のゼミではC++、C#、Java、Processingなどによりオブジェクト指向プログラミングの実習を行い、ゼミごとに各自題材を選んで学んだことや研究したことなどを成果物としてまとめます。

情報科学I・II

「情報科学I」では、数式処理ソフトの利用方法を学び、数式処理ソフトの簡単なプログラミング方法を修得します。「情報科学II」では、C言語の初歩として、条件分岐、繰り返しといった構造化プログラミングのための基礎を学習します。

FEATURE

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